Doctorado en Matemáticas
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Publicación Acceso abierto 1-D Schrödinger operators with δ and δ′ interactions on non-discrete sets and complex problems(Universidad de los Andes, 2024-12-05) Leguizamon Quinche, Edison Jair; Winklmeier, Monika Anna; Derkach, Volodymir; Bourget, Olivier; Getmanenko, AlexanderThis dissertation explores the spectral properties of one-dimensional Schrödinger operators with δ and δ′ interactions on non-discrete sets. We extend classical Sturm-Liouville theory to these singular perturbations and analyze the self-adjoint realizations of differential expressions involving Dirac delta distributions and their derivatives. Using Weyl's classification, we establish criteria for the limit-point and limit-circle cases in complex Sturm-Liouville problems, answering fundamental questions about spectral properties in non-Hermitian quantum mechanics. We prove the absence of embedded eigenvalues in certain cases and extend Levinson’s theorem for Borel measures. The findings have implications for quantum mechanics and mathematical physics, particularly in understanding spectral phenomena in PT-symmetric systems.Publicación Acceso abierto A canonical decomposition of the integral trace over cyclic number fields of a given discriminant(Uniandes, 2019) Bolaños Chavez, Wilmar Reinerio; Mantilla Soler, Guillermo Arturo; Caicedo Ferrer, Xavier; Karpuk, David Anton; Grimm, David; Ellenberg, Jordan"En este trabajo se estudia extensiones cíclicas del cuerpo de los números racionales y su módulo traza integral subyacente siendo este totalmente determinado solamente por el discriminante del cuerpo de números." -- Tomado del Formato de Documento de Grado.Publicación Acceso abierto Abelian extensions of Hopf algebras and coquasi-bialgebras(Uniandes, 2019) Morales Pinto, Yiby Karolina; Galindo Martínez, César Neyit; Benedetti Velásquez, Carolina; Solotar, Andrea; Ng, Siu-Hung"Calculamos el grupo Opext(kF,k^G) de clases de equivalencia de extensiones abelianas de álgebras de Hopf, y el grupo Opext''(kF,k^G) de extensiones de coquasibiálgebras para un par de Singer de biálgebras. Ambos grupos están intrísecamente relacionados con un par cruzado de grupos. Con este fin, describimos sucesiones exactas asociadas a las sucesiones espectrales que surgen de complejos dobles establecidos por Kac para describir este tipo de extensiones. En el caso de productos semidirectos, describimos estas suseciones exactas en términos de comología de grupos y comología relativa de grupos, asociadas a los grupos F y G. Esta descripción nos permite calcular grupos de extensiones asociados a varios pares cruzados de grupos." -- Tomado del Formato de Documento de Grado.Publicación Acceso abierto Calculations of BV-Algebra structures on Hochschild (Co)homology and string topology of classifying spaces(Universidad de los Andes, 2017) Duarte Vogel, Diego Daniel; Cohen, Ralph L; Ángel Cárdenas, Jairo Andrés; 80068520; Bressler, Paul; Menichi, Luc"La cohomología de Hochschild de un álgebra asociativa tiene una estructura algebráica muy amplia. Es un álgebra graduada, un álgebra de Gerstenhaber y bajo condiciones adecuadas es un álgebra de Batalin-Vilkovisky. En esta tesis, presentamos una descripción explícita de una estructura de álgebra de Batalin-Vilkovisky en la cohomología de Hochschild del anillo grupo de un grupo abeliano finitamente generado. Para lograr este objetivo, generalizamos un resultado de Jue Le y Guodong Zhou sobre la estructura de Batalin-Vilkovisky para productos tensoriales. Recientemente Andrús Angel y Luc Menichi han construido un isomorfismo de álgebras entre la cohomología de Hochschild del anillo grupo de un grupo finito y la cohomología del espacio de lazos libres del espacio clasificante. Además, demostraron que este isomorfismo es compatible con la estructura de álgebra de Batalin-Vilkovisky que existe en ambos. Esto conlleva a una pregunta importante para esta tesis: ÅExiste alguna manera de construir una estructura de álgebra de Batalin-Vilkovisky sobre la homología del espacio de lazos libres del espacio clasificante de un grupo finito?".-- Tomado del Formato de Documento de Grado.Publicación Acceso abierto Canonical trace and pseudo-differential operators on manifolds with boundary(Uniandes, 2016) Corral Martínez, César Augusto del; Paycha, Sylvie; Ruzhansky, Michael; Malakhaltsev, Mikhail A.; Scott, Simon; Cardona Guio, AlexanderEsta tesis es acerca de la existencia y unicidad de la traza canónica para operadores pseudo-diferenciales de tipo log-polihomogeneo sobre una variedad con frontera. Por un lado, la traza canónica para operadores sobre una variedad cerrada (variedad compacta y sin frontera) fue definida, por Kontsevich, M. y Vishik, S., sobre una clase de operadores pseudo-diferenciales de orden no entero o de orden más pequeño que la dimensión de la variedad. Por otro lado, en el caso de una variedad con frontera L. Boutet De Monvel construye una álgebra de operadores pseudo-diferenciales asociado a problemas en la frontera, los operadores en tal álgebra requieren satisfacer la llamada propiedad de transmisión, tal propiedad requiere que el operador sea de orden entero, por lo cual el álgebra de Boutet de Monvel no es un espacio adecuado para estudiar la traza canónica. En esta tesis consideramos una clase apropiada de operadores pseudo-diferenciales de tipo log-polihomogeneo sobre una variedad con frontera, y extendemos la traza canónica a tal clasePublicación Acceso abierto Combinatorics of ideals on ω: the Category Dichotomy and the Measure Dichotomy(Universidad de los Andes, 2025-06-04) Figueroa Sierra, Raul; Di Prisco De Venanzi, Carlos Augusto; Hrušák, Michael; Caicedo Ferrer, Xavier; Kwela, Adam; Meza Alcántara, DavidThe aim of this thesis is to investigate the validity of the Category Dichotomy beyond the setting of Borel ideals and to explore the applicability of the Measure Dichotomy to the class of Fσ ideals. The Category Dichotomy and the Measure Dichotomy are two fundamental structural results concerning Borel ideals and analytic P-ideals, respectively. These theorems, established by Michael Hrušák in 2017, provide insight into the interplay between the combinatorial properties of ideals and their descriptive set-theoretic characteristics. The Category Dichotomy states that two combinatorial properties, namely weak selectivity and Cohen-indestructibility, are incompatible for Borel ideals on ω. Notably, we provide a counterexample to the Category Dichotomy in the framework of ZFC (Zermelo-Fraenkel set theory with the Axiom of Choice), without additional assumptions. Moreover, we characterize the conditions under which the Category Dichotomy holds for five classes of ideals on ω: maximal ideals, non-meager ideals, tall P-ideals, ideals generated by MAD families, and nowhere-dense ideals induced by independent families. We further establish that the Category Dichotomy is independent of ZFC for the first three classes, while it is consistently false for the last two. The Measure Dichotomy classifies analytic P-ideals into two distinct categories: those satisfying the Fubini property and those that can only be represented by pathological lower semicontinuous submeasures. In particular, we prove that every non-pathological Fσ ideal is Katětov below Z (the asymptotic density zero ideal). Additionally, we show that having an infinite degree of pathology is not a sufficient condition for an Fσ ideal to be pathological. Finally, we establish that the Measure Dichotomy holds for a proper subclass of Fσ ideals that are not P-ideals, namely, the fragmented ideals.Publicación Acceso abierto Derived counterparts of fusion categories of quantum groups(Uniandes, 2017) Arias Uribe, Juan Camilo; Backelin, Erik; Kremnizer, Kobi; Futorny, Vyacheslav; Yakimov, Milen; Galindo Martínez, César Neyit"En esta tesis, se estudian versiones derivadas de la categoría de fusión asociada con el grupo cuántico de Lusztig U_q. Las categorías obtenidas no son semisimples pero recuperan el anillo de fusión usual cuando calculamos las complexificaciones de los anillos de Grothendieck. En el nivel derivado, parece posible definir el anillo de fusión para U_q sin utilizar la noción de módulo inclinaste. Por lo tanto, formulamos una definición para el anillo de fusión que tiene sentido en categorías esféricas más generales. Esta nueva definición es aplicada en el caso del grupo cuántico pequeño y es relacionada con algunos anillos presentados por A. Lachowska." -- Tomado del Formato de Documento de GradoPublicación Acceso abierto Dissipative extensions of Schrödinger-type operators(Universidad de los Andes, 2025-12-05) Patiño López, Andrés Felipe; Winklmeier, Monika Anna; Fischbacher, Christoph; Berenstein Opscholtens, Alexander Jonathan; Silva, Luis O.; Gesztesy, FritzLet S be the minimal Laplacian in L²(0,1) and V be a bounded nonnegative operator. In this thesis, we present a description of all maximally dissipative extensions  of the dissipative operator A=S+iV in terms of boundary conditions for functions in D(S*)=H²(0,1) and at most two functions in the subspace Rg(V^(½)). We establish sufficient conditions for  to be completely nonselfadjoint. In the case that V is a multiplication operator, we find necessary and sufficient conditions for  to have a nontrivial reducing selfadjoint subspace. More precisely, under one of the following assumptions: (a) the operator V is nonzero and the restriction of S* to the symmetric space of S* restricted to D(Â) is completely nonselfadjoint or (b) the set E_V:= {x ∈ (0, 1) : V(x) > 0} has an interior point, we show that the selfadjoint subspace of  has dimension at most two, so that it is generated by at most two eigenfunctions lying in the symmetric subspace of Â. In particular, the eigenfunctions generating the selfadjoint subspace of  correspond to real eigenvalues.Publicación Acceso abierto Distributionally robust optimization: a novel approach with decision-dependent ambiguity sets and an application to mode estimation(Universidad de los Andes, 2023-04-14) Fonseca Valero, Diego Fernando; Junca Peláez, Mauricio José; 79981918; Avella Medina, Marco; Díaz Díaz, Mateo; Quiroz Salazar, Adolfo JoséThis Ph.D. thesis explores stochastic optimization from a Distributionally Robust perspective, focusing on two significant themes: the innovative use of decision variable-dependent ambiguity sets in Distributionally Robust optimization (DRO), and the estimation of the mode of a random vector using the DRO perspective. Regarding the first topic, new techniques utilizing p-Wasserstein metrics in stochastic programming are proposed, where ambiguity sets are uniquely decision variable-dependent. These developments, under certain assumptions, can be reduced to finite-dimensional optimization problems, sometimes convex. They are tested within the portfolio optimization context against standard methodologies. The research also extends to stochastic programming with expected value constraints, setting feasibility criteria relative to the Wasserstein radius and constraint parameters, and benchmarking model performance using both simulated and real financial market data. Additionally, in the realm of mode estimation, an innovative strategy is devised for identifying a mode estimator in a random vector sample, even in the absence of known probability distribution or density function. This strategy employs a DRO approach and Wasserstein distance, demonstrating the resulting estimator is consistent.Publicación Acceso abierto Equivariant algebraic topology applied to some problems in topological combinatorics(Uniandes, 2016) Borja Soto, Jerson Manuel; Angel Cárdenas, Jairo AndrésIn this thesis we present several results on geometric combinatorics whose solution can be achieved by means of results and tools from algebraic topology. The combinatorial problems are related to known problems as the topological Borsuk problem, equilateral sets in metric spaces, Tverberg type problems, evasiveness of graph properties, etc. Among the results and tools used in the solutions of these problems we find theorems of Borsuk-Ulam and Dold, theorems of Smith and Oliver, group cohomology, cohomology theories, numerical and cohomological index theoriesPublicación Acceso abierto Expansions géométriques et ampleur = - Geometric expansions and ampleness(Uniandes, 2015) Carmona González, Juan Felipe; Martín-Pizarro, Amador; Goodrick, John Richard; Casanovas, Enrique; Berenstein Opscholtens, Alexander JonathanLe résultat principal de cette the¿se est l'étude de l'ampleur dans des expansions des structures géométriques et de SU-rang oméga par un prédicat dense/codense indépendant. De plus, nous étudions le rapport entre l'ampleur et l'équationalite, donnant une preuve directe de l'équationalite de certaines théories CM-triviales. Enfin, nous considérons la topologie indiscernable et son lien avec l'équationalite et calculons la complexité indiscernable du pseudoplan libre = The main result of this thesis is the study of how ampleness grows in geometric and SU-rank omega structures when adding a new independent dense/codense subset. In another direction, we explore relations of ampleness with equational theories; there, we give a direct proof of the equationality of certain CM-trivial theories. Finally, we study indiscernible closed sets which are closely related with equations and measure their complexity in the free pseudoplanePublicación Acceso abierto Galois theory and Hopf monads(Universidad de los Andes, 2021-08-17) García Vargas, Johan Felipe; Caicedo Ferrer, Xavier; 14434549; Galindo, César; López, Ignacio; Szyld, Martin; Galindo Martínez, César NeyitLa teoría de Galois trata principalmente del uso de simetrías para clasificar Estructuras. A groso modo, se han formulado dos perspectivas al respecto: la perspectiva de Artin, en la cual el teorema fundamental es la correspondencia entre subgrupos de simetrías y sub-estructuras, dada en términos de estabilizadores e invariantes; y la perspectiva de Grothendieck, en la cual una categoría y un funtor que satisfacen ciertas propiedades inducen una equivalencia con la categoría de acciones del grupo de simetrías. En este trabajo profundizamos la formulación de Grothendieck, por lo cual exponemos y desarrollamos la idea de que para las categorías monoidales la teoría de Galois puede ser entendida como una equivalencia con la categoría de acciones de una mónada de Hopf. Nuestra pregunta de investigación fue ¿cómo podemos encajar la perspectiva de Artin en este contexto? Descubrimos que, para una mónada aumentada, existen propiedades universales que definen los invariantes y estabilizadores, definiciones que naturalmente conllevan a una correspondencia de Galois. Adicionalmente, en el caso de una mónada de Hopf aumentada sobre una categoría monoidal cerrada, encontramos procedimientos explícitos para calcular dichos invariantes y estabilizadores. Este documento contiene, además del desarrollo pleno de la conexión de Galois inherente a una mónada de Hopf aumentada, una introducción amigable a las mónadas de Hopf y una exposición de algunos ejemplos clásicos de teoría de Galois a la luz de la perspectiva aquí propuesta.Publicación Acceso abierto Lie groups and definability(Universidad de los Andes, 2021) Post, Sacha Pierre Angel; Onshuus Niño, Alf; Goodrick, John Richard; Conversano, Annalisa; Baro, ElíasEs conocido desde 1988 (Pillay) que un grupo definible en una expansión o-minimal de los reales es un grupo de Lie. En este trabajo se dan criterios para asegurar que un grupo de Lie tenga una copia definible, es decir que sea isomorfo (como grupo de Lie) a un grupo definible en tales expansiones. En particular se muestra que bajo los criterios establecidos por Conversano, Onshuus y Starchenko en el caso soluble, el grupo es isomorfo a un grupo matricial definible usando únicamente la función exponencial real (además de la estructura de cuerpo). Además se caracterizan completamente los grupos de Lie lineales que tienen copias definibles. La caracterisación se extiende al caso no lineal para los grupos de Lie con subgrupo de Levi with finite center.Publicación Acceso abierto Mckay correspondence in quasitoric orbifolds(Uniandes, 2013) Ganguli, Saibal; Poddar, Mainak; Lupercio, Ernesto; Angel Cárdenas, Jairo Andrés; Hu, ShengdaPublicación Acceso abierto Minimal modular extensions for super-Tannakian categories(Uniandes, 2019) Venegas Ramírez, César Fernando; Galindo Martínez, Cesar Neyit; Backelin, Erik; Rowell, Eric; Plavnik, Julia"Parametrizamos las extesiones modulares minimales para categorias de fusion super-Tanakianas en terminos de grupos de cohomologia en grado 2 y 3. Para esto, usamos los procesos de equivariantización, de-equivariantización para el caso que denominamos fermionic, y 2-homomorfismos con valores en el 2-grupo de Picard."-- Tomado del Formato de Documento de Grado.Publicación Acceso abierto Navier-stokes equations - possible blow-up, self-similar solutions and backward uniqueness(Uniandes, 2017) Montero Rosero, Julio Andrés; Giniatoulline, Andrei; Robinson, James A.; Healey, Timothy; Cortissoz Iriarte, Jean Carlos"In this thesis we consider two problems for the Navier-Stokes equations. One problem is blow-up ratcys to solutions of the Navier-Stokes equation if a singularity exists at time T in the homogeneous periodic Sobolev spaces, in particular in the cases s = 3/2 and s = 5/2 where we prove the blow-up rates... "Publicación Acceso abierto O-asymptotic classes of finite structures, pseudofinite dimension and forking(Uniandes, 2014) García Rico, Darío Alejandro; Scanlon, Thomas; Starchenko, Sergei; Martín-Pizarro, Amador; Onshuus Niño, Alf; Berenstein Opscholtens, Alexander JonathanAbstract: My research aims to study the of ultraproducts of finite structures and the study of forking, pseudofinite dimensions and other model-theoretic properties, specifically in pseudofinite structures and classes of finite linearly ordered structures. The main results obtained during my Ph.D can be separated in two main topics: Pscudofinitc dimcnsions and forking, and 0-asymptotic classcs of finitc structurcs. Studying classes of finite structures (e.g 1-dimensional asymptotic classcxs) one can ask whether the notions of pseudofinite dimensions of Hrushovski and Wagner provide information about independence relations and other model-theoretic properties in their ultraproducts. In this setting, I proved that an instance of dividing in an ultraproduct of finite structures can be realized as a decrease in the pseudofinite dimension; thus implying, as a corollary, a generalization of a well-known result in 1-dimensional asymptotic classes; namely, that every infinite ultraproduct of models in such a class is supersimple of U-rank 1. In the study of classes of finite linearly ordered structures, I stated the definition of O-asymptotic classcs as a way to meld ideas from 1-dimensional asymptotic classes and 0-minimality. The main examples of these classes are the class of finite linear orders and the class of cyclic grolllxs Z/(2N + I)Z with the natural order inherited by the order in the integers when we take the representative-s - N < - (N-1) < ? <-1<0<1< ? < N ? 1 < N. Results obtained Include: a cell-decomposition result for 0-asymptotic classes melding ideas from the combinatorial cell decomposition for 1-dimensional asymptotic clas.scxs, and the cell decomposition theorem in O-minimal structures; and a classification of the ultraproducts of 0-asymptotic classes: if every ultraproduct of a class C is o-minimal, then C is an O-asymptotic class; every infinite ultraproduct of structures in an 0-asymptotic class is superrosy of U-thorn-rank 1 and NTP2 of inp-rank l. I also present a preliminary collection of results towards isolate conditions under which dense 0-minimal structures can be obtained as quotients of ultraproducts of 0-asymptotic classesPublicación Acceso abierto On Higher dimensional exact courant algebroids(Uniandes, 2015) Rengifo Gutiérrez, Camilo; Bressler, Paul; Bursztyn, Henrique; Zambon, Marco; Malakhaltsev, Mikhail A.In this thesis we establishes an equivalence of categories between the category of certain differential graded (dg-) Lie algebroids on the odd tangent bundle of a manifold and the category of (higher-dimensional) exact Courant algebroids on the manifold. In addition, it is shown that the above mentioned categories are equivalent to the category of dg-principal bundles with structure group the shifted additive group over the odd tangent bundle of the manifoldPublicación Acceso abierto On the theory of the logarithmic transseries field as an ordered valued logarithmic field(Uniandes, 2019) Angel Bautista, José Leonardo; Van Den Dries, Lou; Caicedo Ferrer, Xavier; Onshuus Niño, Alf; Bianconi, Ricardo; Speissegger, Patrick"In this work we focus on the study of the first order theory of the logarithmic transseries field T_log as an ordered valued logarithmic field, which is conjectured to have a good model theory. As a first step in such direction, we study the theory of T_log as an ordered valued field with restricted analytic functions and a partial exponential function defined in the valuation ring. Among other things, we show that this theory is model complete and complete. In the same spirit, we also consider a class of Hahn fields equipped with a convex valuation ring and a partial exponential function defined in the valuation ring, and we show an Ax-Kochen-Ershov type equivalence theorem for this class of structures. As a second step, we study the theory of the structure induced by the logarithm of T_log in its value group and we prove the model completeness and completeness of this theory. Finally, we use the previous work to propose a theory of ordered valued logarithmic fields, we show that T_log can be expanded to a model of this theory and state some conjectures that would prove the model completeness."--Tomado del Formato de Documento de Grado.Publicación Acceso abierto One dimensional groups definable in the p-adic numbers and groups definable in presburger arithmetic(Uniandes, 2020) Acosta López, Juan Pablo; Onshuus Niño, Alf; Goodrick, John Richard; Scanlon, Thomas; Hils, MartinSe decriben los grupos definibles en los números p-ádicos con el lenguaje de cuerpo valuado excepto por subgrupos de índice finite y cocientes finitos. Igualmente se describen los grupos definibles en la aritmética de Presburger excepto por un subgrupo finito.